“Στο άπειρο και πέρα!”
Έχετε σκεφτεί ακόμη και βαθιά τη διάσημη φράση Buzz Lightyear από τις ταινίες “Toy Story”; Πιθανώς όχι. Αλλά ίσως μερικές φορές κοίταξε τον νυχτερινό ουρανό και αναρωτήθηκε για τη φύση του ίδιου του άπειρου .
Το Infinity είναι μια περίεργη ιδέα, που ο ανθρώπινος εγκέφαλος έχει έναν δύσκολο χρόνο να περιβάλει την περιορισμένη κατανόησή του γύρω. Λέμε ότι το σύμπαν μπορεί να είναι άπειρο, αλλά μπορεί πραγματικά να πάει για πάντα; Ή τα ψηφία του pi μετά το δεκαδικό – πραγματικά τρέχουν ατέλειωτα, πάντα δίνοντάς μας πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια σχετικά με την αναλογία μεταξύ της περιφέρειας ενός κύκλου και της περιοχής; Και, θα μπορούσε ο Buzz να έχει δίκιο; Υπάρχει κάτι πέρα από το άπειρο;
Για να αντιμετωπίσει αυτές τις εικασίες, η Live Science χρησιμοποίησε τη βοήθεια του μαθηματικού Henry Towsner από το Πανεπιστήμιο της Πενσυλβανίας στη Φιλαδέλφεια, ο οποίος ήταν τόσο ευγενικός που προσπάθησε να απαντήσει στην ερώτηση “Μπορείς να υπολογίσεις το απεριόριστο παρελθόν;” (Να είστε προετοιμασμένο: αυτό θα είναι δύσκολο.)
Το Infinity, δήλωσε ο Towsner, βρίσκεται σε μια παράξενη θέση: Οι περισσότεροι άνθρωποι αισθάνονται ότι έχουν κάποια διαίσθηση σχετικά με την έννοια, αλλά όσο περισσότερο σκέφτονται γι ‘αυτό, το πιο περίεργο είναι.
Οι μαθηματικοί, από την άλλη πλευρά, συχνά δεν σκέφτονται το άπειρο ως έννοια από μόνη της, πρόσθεσε. Αντιθέτως, χρησιμοποιούν διαφορετικούς τρόπους να το σκεφτούν για να αποκτήσουν πολλές απόψεις.
Για παράδειγμα, υπάρχουν διαφορετικά μεγέθη άπειρου. Αυτό αποδείχθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Georg Cantor στα τέλη του 18ου αιώνα, σύμφωνα με ιστορία του Πανεπιστημίου του St Andrews στη Σκωτία.
Ο Cantor γνώριζε ότι οι φυσικοί αριθμοί – δηλαδή, ολόκληροι, θετικοί αριθμοί όπως 1, 4, 27, 56 και 15,687 – συνεχίζονται για πάντα. Είναι απεριόριστες και είναι επίσης αυτό που χρησιμοποιούμε για να μετράμε τα πράγματα, οπότε τις χαρακτήρισε ως “απίστευτα άπειρες”, σύμφωνα με έναν ιστορικό, μαθηματικό και άλλο θέμα από τον εκπαιδευτικό γελοιογράφο Charles Fisher Cooper.
Ομάδες απαριθμημένων αριθμών έχουν μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι αδύναμοι αριθμοί (2, 4, 6, κ.λπ.) είναι επίσης απεριόριστοι. Και ενώ υπάρχουν τεχνικά οι μισοί από αυτούς όπως αυτό που περιβάλλεται από το πλήρες σύνολο των φυσικών αριθμών, είναι ακόμα το ίδιο είδος άπειρο.
Με άλλα λόγια, μπορείτε να τοποθετήσετε όλους τους ζυγούς αριθμούς και όλους τους φυσικούς αριθμούς δίπλα-δίπλα σε δύο στήλες και οι δύο στήλες θα πάνε στο άπειρο, αλλά είναι το ίδιο “μήκος” άπειρου. Αυτό σημαίνει ότι το ήμισυ του μετρήσιμου άπειρου είναι ακόμα άπειρο.
Αλλά η μεγάλη ιδέα του Cantor ήταν να συνειδητοποιήσει ότι υπήρχαν και άλλες σειρές αριθμών που ήταν απεριόριστα άπειρες. Οι πραγματικοί αριθμοί – οι οποίοι περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς, καθώς και κλάσματα και παράλογους αριθμούς όπως το pi – είναι πιο άπειροι από τους φυσικούς αριθμούς. (Αν θέλετε να μάθετε πώς το έκανε ο Cantor και μπορεί να ασχοληθεί με κάποια μαθηματική μαρτυρία, μπορείτε να δείτε αυτό το φύλλο εργασίας από το Πανεπιστήμιο του Maine.)
Αν έπρεπε να ταξινομήσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς και όλους τους πραγματικούς αριθμούς δίπλα-δίπλα σε δύο στήλες, οι πραγματικοί αριθμοί θα τεντώνονταν πέρα από το άπειρο των φυσικών αριθμών. Ο Cantor αργότερα είπε την ιδέα τρελή, πιθανώς για λόγους άσχετους με το έργο του στο άπειρο, σύμφωνα με τον Cooper .
Τι μετράτε;
Έτσι, πίσω στο ζήτημα της καταμέτρησης του παρελθόντος άπειρου. “Αυτό που σας κάνει να σας ρωτήσω είναι:” Τι σημαίνει αυτό πραγματικά; “, λέει ο Towsner.” Τι εννοείτε υπολογίζοντας το απεριόριστο παρελθόν; “
Για να μπει στο θέμα, ο Towsner μίλησε για τους κανονικούς αριθμούς. Σε αντίθεση με τους αριθμούς (1, 2, 3 κ.ο.κ.) που σας λένε πόσες πράξεις είναι σε ένα σετ, οι εντολές ορίζονται από τις θέσεις τους (πρώτη, δεύτερη, τρίτη, κ.λπ.) και εισήχθησαν στα μαθηματικά με Cantor, σύμφωνα με τον ιστοχώρο μαθηματικών Wolfram MathWorld.
Στους αύξοντες αριθμούς υπάρχει μια έννοια που ονομάζεται ωμέγα, η οποία υποδηλώνεται από το ελληνικό γράμμα ω, δήλωσε ο Towsner. Το σύμβολο ω ορίζεται ως το πράγμα που έρχεται μετά από όλους τους άλλους φυσικούς αριθμούς – ή, όπως το ονομάζει ο Cantor, είναι ο πρώτος απεριόριστος κανονικός .
Αλλά ένα από τα πράγματα για τους αριθμούς είναι ότι μπορείτε πάντα να προσθέσετε ένα άλλο στο τέλος, είπε Towsner. Επομένως υπάρχει ένα τέτοιο πράγμα ω ω + 1 και ω + 2 και ακόμη ω + ω. (Σε περίπτωση που αναρωτιέστε, τελικά πληκτρολογήσατε έναν αριθμό που ονομάζεται ω1, ο οποίος είναι γνωστός ως ο πρώτος αμέτρητος κανονικός .)
Και δεδομένου ότι η καταμέτρηση είναι κάπως σαν την προσθήκη επιπλέον αριθμών, αυτές οι έννοιες με κάποιο τρόπο σας επιτρέπουν να υπολογίζετε το παρελθόν άπειρο, είπε ο Towsner.
Το παράδοξο όλων αυτών είναι μέρος του λόγου γιατί οι μαθηματικοί επιμένουν να καθορίσουν αυστηρά τους όρους τους, πρόσθεσε. Εκτός αν όλα είναι εντάξει, είναι δύσκολο να διαχωρίσουμε την κανονική ανθρώπινη διαίσθησή μας από αυτό που μπορεί να αποδειχθεί μαθηματικά.
“Το μαθηματικό σας λέει,” Introspect βαθιά, τι μετράει; “‘ο Towsner είπε.
Για εμάς τους απλούς θνητούς, αυτές οι ιδέες μπορεί να είναι δύσκολες να τις υπολογίσουμε πλήρως. Πώς ακριβώς ασχολούνται οι μαθηματικοί εργασίας με όλες αυτές τις αστείες επιχειρήσεις στην καθημερινή τους έρευνα;
“Πολλά από αυτά είναι πρακτική”, δήλωσε ο Towsner. “Αναπτύσσετε νέες διαισθήσεις με την έκθεση, και όταν η διαίσθηση αποτύχει, μπορείτε να πείτε,” Μιλάμε για αυτή την ακριβή βήμα-βήμα αυστηρή απόδειξη. ” Έτσι, αν αυτή η απόδειξη είναι εκπληκτική, μπορούμε ακόμα να ελέγξουμε ότι είναι σωστό και στη συνέχεια να μάθουμε να αναπτύσσουμε μια νέα διαίσθηση γύρω από αυτό. “
Αρχικά δημοσιεύθηκε στο Live Science .