Ο Ιππασος υπήρξε ίσως ο πιο ταλαντούχος μαθητής που πέρασε ποτέ από τη σχολή του Πυθαγόρα, αλλά ταυτόχρονα ήταν εκείνος που κλονίζει θεμελιωδώς τις πυθαγόρειες πεποιθήσεις, ανοίγοντας ένα κρίσιμο κεφάλαιο στην ιστορία των μαθηματικών.
Η σχολή του Πυθαγόρα, πέρα από τα μαθηματικά, είχε έντονη φιλοσοφική και θρησκευτική διάσταση. Οι αριθμοί για τους Πυθαγόρειους δεν ήταν απλά εργαλεία μέτρησης, αλλά κάτι θεϊκό, ανώτερο από τον υλικό κόσμο και προσιτό μόνο μέσω της βαθιάς σκέψης. Σύμφωνα με τη διδασκαλία τους, το σύμπαν εξηγούνταν μέσω των αριθμών και της γεωμετρίας, και όλοι οι αριθμοί θεωρούνταν ρητοί, δηλαδή εκφρασμένοι ως κλάσματα δύο ακεραίων. Το γεγονός ότι υπήρχαν αριθμοί που δεν μπορούσαν να εκφραστούν έτσι ήταν αδιανόητο για τους Πυθαγόρειους.
Η μαθηματική παράδοση της σχολής ήταν εξαιρετικά ανεπτυγμένη, με πιο γνωστό παράδειγμα το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος του Ομακοείου στην Κρότωνα ήταν ο Ιππασος, ο οποίος χρησιμοποίησε το ίδιο θεώρημα για να ανακαλύψει κάτι που θα άλλαζε τη σκέψη των Πυθαγόρειων, η υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές μήκους 1 ισούται με τη ρίζα του 2.
Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι η ρίζα του 2 θα μπορούσε να εκφραστεί ως ρητός αριθμός, επειδή όλοι οι αριθμοί ανήκαν σε αυτή τη σφαίρα. Ο Ιππασος όμως, μελέτησε τον αριθμό και απέδειξε ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακεραίων — δηλαδή ότι η ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός. Αυτή η ανακάλυψη σήμαινε ότι οι πεποιθήσεις των Πυθαγόρειων για το σύμπαν ως οικοδόμημα ρητών αριθμών ήταν λανθασμένες.
Η απόδειξη του Ιππασου βασίστηκε σε συλλογισμό «προς άτοπο». Υπέθεσε ότι η ρίζα του 2 μπορούσε να γραφεί ως κλάσμα a/b, με a και b πρώτους μεταξύ τους. Από τη σχέση a² = 2b² προέκυπτε ότι και οι δύο αριθμοί θα ήταν άρτιοι, άρα έχουν κοινό διαιρέτη, κάτι που αναιρεί την αρχική υπόθεση. Συνεπώς, η ρίζα του 2 δεν μπορεί να είναι ρητός αριθμός.
Η αποκάλυψη αυτή θεωρήθηκε προδοσία από τους Πυθαγόρειους. Ο Ιππασος κατακρίθηκε έντονα και, σύμφωνα με τις πηγές, πνίγηκε στη θάλασσα, αλλά η ανακάλυψή του έμεινε: η ρίζα του 2 έγινε ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός. Η ανακάλυψη του Ιππασου έθεσε τα θεμέλια για το τεράστιο κεφάλαιο των αρρήτων αριθμών, που αποδείχθηκαν πολύ περισσότεροι από τους ρητούς. Σήμερα γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε έναν τυχαίο αριθμό, η πιθανότητα να είναι ρητός είναι σχεδόν μηδενική, επιβεβαιώνοντας την αλήθεια που ο Ιππασος αποκάλυψε πριν χιλιάδες χρόνια.
